Arithmetizing Computable Programs Simply

我们讨论了编码可计算函数的不同方法，描述了其细微差别和局限性，最后以已知最简单的方法结束——该方法使用一个有意设计的完备操作，比图灵机更简单易用。

引言

本帖的任务是描述实现通用计算的最简单方法。更精确地说，我希望找到一个操作，∘，使得对于任何可计算函数 `f: N → N`，都存在一个数 `n_f: N`，满足 `∀x. n_f ∘ x = f(x)`。这样的函数被称为"有意完备"。

这与"图灵完备"不同。一个函数要成为图灵完备，只需要存在一种合适的编码来模拟任何可计算函数。而要成为有意完备则更严格，要求所有可计算（一阶）函数都存在于顶层，无需任何编码。

这篇帖子主要是出于我认为它很有趣而写的，但推测而言，这可能对未来关于零知识虚拟机的工作有影响。在某种合理的意义上，一个 ZK-VM 是一个（或试图成为）经过密码学验证的、有意完整的功能。从一个非常简单的非密码学函数的例子开始可能会带来有价值的见解。

一个传统答案

当然，这个问题现在已经很老了，而它的通常答案是以通用图灵机的形式出现的。然而，我不觉得这个答案很令人满意。部分原因在于图灵机的根本上的不优雅。

尽管它们经常被提及，但它们很少被使用。每当白皮书提到图灵机时，几乎从不附带所使用的具体机器的细节，也没有给出实际程序。我认为我见过大约三篇或四篇论文实际给出了图灵机程序的例子，而相比之下，我见过超过一百篇论文提到图灵机但没有给出任何进一步的细节。

与λ演算或 SK 组合子演算相比；这些计算模型要容易使用得多。提到这些时，很少不附带实际程序。

图灵机的技术困难

使用图灵机的困难之一是需要处理无数令人烦恼的技术细节才能使用它们：

1. 输入输出处理：传统上，图灵机的输入和输出是无限长的磁带。我们必须定义一种方法将有限输入嵌入磁带中，并将输出截断以解释为有限。

2. 磁带边界问题：图灵机有两面，那么磁带的左面该怎么做？

3. 函数组合困难：给定两个程序，组合它们意味着什么？在实践中，它应该是一个新的程序，该程序做与在某个输入上运行第一个程序，然后将输出作为第二个程序的输入并运行该程序以获得最终输出相同的事情。

我见过一些论文将组合视为位串连接，但这并没有在实践中定义函数组合。

这些问题并非无关紧要；我列举它们是为了说明，当声称使用图灵机作为可计算函数的定义时，会有多少技术细节被忽略。所有这些问题都可以解决，但这需要在整个过程中做出任意选择。

选择像 SK 组合子演算或λ演算这样的东西也不能让我们完全摆脱所有问题；尽管值得考虑的选择列表更小。

📖 完整内容

这篇文章深入探讨了可计算程序算术化的最简单方法，从传统的图灵机模型开始，逐步分析各种计算模型的优缺点，最终提出了一个革命性的简单解决方案。

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🎯 主要内容包括：

• •计算模型比较：图灵机、λ演算、SK组合子的详细分析
• •有意完备性：比图灵完备更严格的要求
• •技术细节处理：输入输出、函数组合等实际问题
• •最简单方法：革命性的新计算操作设计
• •ZKVM应用：对零知识虚拟机设计的影响

🔬 核心概念解析

#### 有意完备 vs 图灵完备

图灵完备：

• •只需存在合适的编码来模拟任何可计算函数
• •允许通过编码间接实现功能
• •大多数编程语言和计算系统的标准

有意完备：

• •所有可计算函数都直接存在于顶层
• •无需任何编码或间接实现
• •更严格、更直接的完备性要求

#### 传统方法的局限性

图灵机的问题：

1. 实用性差：理论重要但实际很少使用

2. 技术细节复杂：无限磁带、边界处理等

3. 组合困难：函数组合没有自然定义

4. 任意选择多：实现时需要大量人为决定

λ演算和SK组合子：

• •比图灵机更实用
• •仍然存在一些技术问题
• •选择空间相对较小

🚀 革命性的简单方法

文章的核心贡献是提出了一个有意设计的完备操作，它：

1. 比图灵机更简单：避免了复杂的技术细节

2. 直接完备：无需编码即可表达所有可计算函数

3. 易于使用：实际应用中更加直观

4. 数学优雅：理论上更加简洁

💡 对ZKVM的影响

这项研究对零知识虚拟机设计具有重要意义：

1. 简化设计：更简单的计算模型意味着更简单的ZKVM

2. 提高效率：减少不必要的复杂性

3. 增强可用性：更容易编写和验证程序

4. 理论基础：为ZKVM提供更坚实的数学基础

🔍 技术深度

文章涵盖了：

• •形式化定义：精确的数学表述
• •证明技术：完备性和正确性的证明
• •实现细节：具体的算法和数据结构
• •性能分析：效率和复杂度的讨论
• •应用场景：实际使用的考虑

📚 学习价值

这篇文章对以下读者特别有价值：

1. 理论计算机科学家：了解计算模型的新发展

2. ZKVM开发者：获得设计灵感和理论指导

3. 密码学研究者：理解可计算性与密码学的交叉

4. 系统设计师：学习简化复杂系统的方法

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🌟 为什么这很重要？

在零知识证明和区块链技术快速发展的今天，找到最简单、最优雅的计算模型不仅具有理论价值，更有实际意义。这项研究可能为下一代ZKVM的设计提供关键洞察，帮助构建更高效、更易用的零知识计算系统。

通过回到计算的基础，重新思考什么是"简单"和"完备"，我们可能发现通往更好技术的新路径。